Развивающий набор «Занимательная математика» :: ООО «ХЭППИ-Ко»

Вернуться назад

Артикул: K-0055

Описание:
С набором ярких карточек занятия математикой станут занимательными и невероятно интересными. Карточки можно предложить даже самым маленьким малышам, которые с большим удовольствием поиграют с картинками в «прятки», обведут их силуэты или отсортируют по цвету. Всего в наборе 18 карточек с изображением цифр от 0 до 9 и различных разноцветных геометрических фигур.

Форма карточек вырублена по контуру из толстого картона со специальным защитным покрытием.
Четные числа обозначены красным цветом, нечетные – синим. Оборотная «рубашка» у всех карточек одинаковая, что позволяет придумать массу игровых вариантов для обучения ребенка счету, развития его внимания, памяти и мышления. Например:
— выложить числовой ряд в порядке возрастания или убывания,

— перевернуть картинками вниз и доставать каждую вторую карточку, чтобы собрать цифры только красного цвета,
— из геометрических форм можно составлять фигуры и предметы, попутно запоминая названия основных цветов,
— располагая карточки соответствующим образом, можно изучать понятия «над/под/справа/слева» и т. д.

Продолжить увлекательные занятия помогут яркие и красочные наборы из серии «Домосед» — Веселый алфавит на русском и английском языках.

Размер одной карточки: 10х12 см
Размер набора в упаковке: 10х12х3 см
Возраст: Для детей от 1 года
Материал: Плотный картон со специальным «антивандальным» покрытием
Серия: Домосед
Упаковка: Флоу-пак (прозрачный пакет с горячей склейкой)

Транспортная упаковка: 1 гофрокороб = 50 наборов

Математика для детей: самый востребованный предмет будущего

Алия Маулешева о «теории роста», принципах успешности и точных науках

21 Мая 2019

На портале «Евразийское женское сообщество» продолжается неделя, посвященная теме воспитания и образования детей. Эксперты из разных областей делятся советами по развитию полезных качеств и навыков ребенка. Алия Маулешева, основатель академии ментальной арифметики для детей, рассказала о том, почему сегодня так важно уделять много внимания изучению математики с раннего возраста и какие качества способствуют достижению успеха в любой профессии. 

Алия Маулешева основатель академии ментальной арифметики UCMAS RUSSIA

Математика – наука, без которой было бы невозможно развитие цифровой экономики. Вычислительные процессы лежат в основе новых технологий, которые стремительно эволюционируют в современном мире. Постепенно математика становится одним из самых востребованных предметов уже не только будущего, но и настоящего. Сегодня многие образовательные программы делают упор на изучение точных наук. Проект UCMAS RUSSIA – не исключение.

В академии ментальной арифметики дети от 4 до 14 лет проходят обучение по индивидуальной программе развития интеллектуальных навыков, осваивают быстрый счет в уме.

«Мы применяем настолько простую и понятную методику, что она доступна абсолютно всем, даже самым маленьким. В нашей академии учатся дети с разными, в том числе и ограниченными, возможностями», – рассказывает Алия.

В академии ребята получают определенный уровень компетенций, теоретическую, практическую базу и мотивацию для дальнейшего более глубокого изучения математики и других точных наук.

Ученики академии регулярно участвуют в чемпионатах по ментальной арифметике. При этом педагоги объясняют детям, что главное – не погоня за победой, а собственное развитие. «Мы настраиваем детей на то, что поражения в жизни так же важны, как и победы. Благодаря неудачам мы можем определить свои слабые стороны и понять, над чем стоит работать упорнее», – комментирует Алия Маулешева. Сегодня набирает популярность «теория роста», сформулированная одним известным стэнфордским профессором. Ее суть заключается в том, что в любых ситуациях необходимо искать возможности для развития.

Проигрывать не стыдно. Нужно научиться пользоваться ситуацией – делать выводы и с новыми силами идти дальше. Это принцип, который важен не только в соревнованиях, но и в жизни.

Ученики академии всегда очень серьезно готовятся к чемпионатам. Именно в этот период их навыки развиваются наиболее активно. После соревнований дети проходят специальные тесты, которые доказывают, что уровень знаний и умений у каждого участника значительно повышается независимо от того, какое место занял ребенок.

За годы работы академии и проведения чемпионатов по ментальной арифметике Алия Маулешева заметила, что дети всегда получают только заслуженные награды. Побеждают те участники, которые больше всех трудятся на протяжении всего времени обучения. Важно, чтобы дети видели результат своей деятельности и понимали, на что и с какой целью они тратят свои силы.

На протяжении 30 лет профессора Гарварда анализировали информацию о самых успешных людях мира.

Результаты исследования показали, что одними из главных факторов, позволивших им достичь профессиональных вершин, являются трудолюбие, постоянство и упорство.

Как эксперт Алия Маулешева советует родителям серьезно относиться к увлечениям своего ребенка и мотивировать его двигаться вперед в выбранном направлении. Часто случается так, что дети начинают ходить на какой-либо кружок, но сталкиваются со сложностями и бросают начатое. Таким образом, они тратят силы впустую, не достигая никаких результатов и не получая удовлетворения от проделанной работы. Задача родителей – поддержать ребенка в трудную минуту, помочь преодолеть трудности, вдохновить на самосовершенствование в любимом деле.

Существует мнение: чтобы стать экспертом в той или иной области, необходимо потратить на работу не менее 10 тысяч часов.

Серьезное, постоянное изучение определенных направлений не только позволяет максимально развить конкретные навыки и повысить уровень компетенций, но и воспитывает в человеке трудолюбие, упорство.

Это полезные качества, которые важно начать формировать уже в детстве.

Мы открыты к диалогу в социальных сетях. Вы можете поделиться своими идеями и предложениями для новых публикаций.

Анна Репина, информационное агентство «Евразийское женское сообщество»

Поделиться страницей:

Читать все статьи рубрики

Логические загадки для детей | Развивающие игры для детей — онлайн занятия для детей

Думаете о том, как подготовить ребенка к школе? Хотите, чтобы он учился на «пятерки» и никогда не приносил домой «двойки» и «тройки»? Решайте вместе с ним загадки на логику, развивайте аналитическое мышление и не беспокойтесь о будущем – с Умназией ваш ребенок будет готов даже к самой сложной задаче.

Зачем детям решать загадки на логику?

Решение загадок, развивающих логическое мышление, способствует формированию «математического» склада ума и закладывает прочную «математическую» базу, которая в будущем поможет детям не только в школе, но и во «взрослой» жизни.

Ребята учатся думать и анализировать, строить логические цепочки, соотносить аргументы и делать выводы, а еще тренируют воображение и «укрепляют» память. Они развиваются в игровой форме и начинают по-настоящему любить процесс обучения, радуются маленьким победам и становятся истинными чемпионами.

Давайте приступим к практике и попробуем разгадать загадки для самых маленьких. Они часто представлены в стихотворной форме – ребятам нравится слушать стишки-загадки и вместе с взрослыми размышлять над ответом.

Загадки для детей 4-6 лет

Загадка №1.
Задание: Вова и Леша рисуют. Один – дом, другой – дерево. Что рисует Вова, если Леша не рисует дом?

Показать ответ

Ответ: Вова рисует дом, а Леша – дерево.

Загадка №2.
Задание: У первоклассницы Оли есть брат Женя, мама Наташа Игоревна и папа Андрей Александрович. Какое отчество у Оли?

Показать ответ

Ответ: Андреевна.

Загадка №3.
Задание: Кто из животных носит каменную рубаху?

Показать ответ

Ответ: Черепаха.

Загадка №4.
Задание: Что можно увидеть с закрытыми глазами?

Показать ответ

Следующую подборку загадок мы создали для ребят, которые уже ходят в школу. Для того чтобы быстро справиться с заданием, нужно внимательно прочитать условие задачи и ничего не упустить из виду.

Загадки для детей 7 – 8 лет

Загадка №1
Задание: У бабушки живут три кошки – кошка Мурка, кошка Клава и кошка Лиза. Обычно они спят на трех разных подушках – желтой, розовой и синей. Кошка Клава любит спать на розовой подушке. Кошка Мурка никогда не выбирает ни розовую, ни синюю. Подумай и скажи, на какой подушке должна спать каждая из кошек?

Показать ответ

Ответ: Клава – на розовой, Мурка – на желтой, Лиза – на синей.

Загадка №2
Задание: В зоопарке живёт столько жёлтых попугаев, сколько и голубых.
Голубых столько же, сколько и красных. Посчитай, сколько всего попугаев, если красных три.

Показать ответ

Ответ: Всего попугаев 9. Жёлтые = голубые. Голубые = красные. Красные = 3.

3 красных + 3 голубых + 3 желтых = 9.

Загадка №3
Задание: Вася, Гоша и Витя едят мороженое. Ребята поедают эскимо, фруктовый лёд, и пломбир в вафельном стаканчике. Догадайся, кто какое мороженое ест, если известно, что Вася не любит эскимо, а Витя лакомится фруктовым льдом.

Показать ответ

Ответ: Витя есть фруктовый лед, Вася – пломбир в стаканчике, а Гоша – эскимо.

Справились? Если вам и вашему ребенку было легко, приступайте к следующей категории задач. Они сложнее, но интереснее. Не забывайте рассуждать вслух, строить логические цепочки и делать грамотные выводы.

Загадки для детей 9-10 лет

Загадка №1
Задание: Коля всегда говорит правду, а Миша всегда лжет. Недавно Коля и Миша купили себе одно транспортное средство на двоих. Коля сказал, что он не желтого цвета, а Миша заявил, что у него есть мотор. Как ты думаешь, что купили ребята: красный скутер, желтый мотоцикл или синий велосипед?

Показать ответ

Ответ: Ребята купили синий велосипед.

Загадка №2
Задание: В доме у Кати живут четыре кота. Каждый кот утром съедает две сосиски. Сегодня Кате не хватило одной сосиски, чтобы накормить всех своих котов. Сколько сосисок было сегодня у Кати?

Показать ответ

Ответ: У Кати было 7 сосисок.

Загадка №3
Задание: Три медведя залегли в зимнюю спячку: первый уснул 24 декабря, второй — 29 декабря, третий — 2 января. Когда проснется каждый из медведей?

Показать ответ

Ответ: Все медведи проснутся весной.

Отлично! Остался последний рывок – загадки для самых взрослых и самых серьезных ребят. Мы уверены, что вы готовы пробираться сквозь логические тернии и развивать навыки внимания, находчивости и эрудиции.

Загадки для детей 11 – 12 лет

Загадка №1
Задание: Учитель физики Евгений Борисович принес в школу 9 металлических листов для проведения опытов. Некоторые из них он вместе с учениками распилил на 5 частей. После этого у Евгения Борисовича стало 33 металлических листа. Сколько листов они распилили?

Показать ответ

Ответ: 6 листов.
Решение: Если распилить один лист на 5 частей, то количественно добавляется 4 куска. Всего добавилось 33 – 9 = 24 куска.
Значит, учитель физики распилил 24 : 4 = 6 листов.

Загадка №2
Задание: Человек выпрыгнул из самолёта без парашюта. Он приземлился на твёрдый грунт, но остался невредимым. Почему?

Показать ответ

Ответ: Самолёт стоял на земле.

Загадка №3
Задание: Машина едет со скоростью 100 км/ч. В багажнике автомобиля установлена пушка, которая стреляет назад мячом со скоростью 100 км/ч. Что произойдёт с мячом, когда пушка выстрелит?

Показать ответ

Ответ: Если авто двигается в противоположную от мяча сторону с той же скоростью, то мяч никуда не полетит и просто упадет вниз.

Мы отлично поработали! Теперь самое время расслабиться и вернуться к самым простым задачам. Они подойдут ребятам, которые только готовятся к поступлению в школу, но уже сейчас хотят быть догадливыми и эрудированными.

Загадки для дошкольников

Загадка №1
Задание: У него есть резиновый хобот, но это не слон. У него есть мотор, и он приносит пользу людям. О чем идет речь?

Показать ответ

Ответ: Речь идет о пылесосе.

Загадка №2
Задание: В холодильнике находятся три бутылки сока: виноградный, апельсиновый и томатный. Что нужно будет открыть в первую очередь, если захочется пить?

Показать ответ

Ответ: Тебе нужно будет открыть дверцу холодильника.

Загадка №3
Задание: Какие животные всегда спят с открытыми глазами?

Показать ответ

Загадка №4
Задание: Какой прибор человек перед сном включает, а утром выключает?

Показать ответ

Ответ: Будильник.

Математика и логика для детей 7-13 лет

Развиваем логическое мышление через решение сюжетных математических задач в интерактивном игровом формате

узнать подробнее

Читайте также:

 

Первая математика самым маленьким — Учим сложение вычитание и умножение с Ежиком Жекой.

6. Ёжик Жека Учится Вычитать из 10.
Наш герой, ёжик Жека, продолжает учиться считать. В этой серии обучающих мультфильмах ему предстоит развести своим друзьям лампочки, чтобы они могли осветить свои домики.
Для этого он будет уже не только складывать числа, а учиться вычитать из десяти и не только.

6.1 В этой серии он пришёл на помощь к белочке решить для неё задачку на сложение.
6.2 Во второй серии он пришёл на помощь к Зайчику решить для него задачку на вычитание.
6.3 В третьей серии он пришёл к Лисичке, чтобы
помочь ей найти яблочки и разобраться сколько красных и сколько желтых, каких больше, а каких меньше.

7. Учим таблицу Умножения — Ежик Жека учится умножать.
Как выучить таблицу умножения? Её просто можно заучить. Но самое важное: ребёнок должен понять что такое умножение и как оно «работает». На помощь детям в изучении основ математики снова приходит Ежик Жека. Вместе со своими друзьями Мишкой, Барсуком и Совой они разбирают первые примеры умножения и учат как пользоваться таблицей умножения.

7.1 В этой серии он Мишкой готовят съестные посылочки жителям соседнего леса, где случилась засуха. Как всегда в конце серии они просят своих зрителей решить последний пример с умножением.
7.2 В этой серии ежик и барсук продолжают собирать помощь жителям соседнего леса и продолжают повторять примеры из таблицы умножения.
7.3 В этой серии герои покажут как можно решать более сложные задачки в 2 действия. И как всегда в конце серии они просят своих зрителей решить последний пример с умножением на 10.
7.4 В этой серии ежик и Совушка должны подсчитать сколько же они собрали фруктов для жителей соседнего леса. Но в этом им должны помочь наши юные зрители. Для этого им понадобится таблица умножения на 10.

0 или 1? Занимательная математика • Люди

Самое маленькое однозначное число: 0 или 1? Занимательная математика

Математика — наука точная и двусмысленные ответы на одни и те же вопросы, касающиеся чисел, представить сложно, но все же есть определенные исключения. Какое самое маленькое однозначное число: 0 или 1 и на что стоит опираться, давая верный ответ?

Принято считать, что самое маленькое однозначное число — это ноль. Но специалисты в области математики уверяют, что в этом вопросе не все так однозначно. Чтобы понять, какое число является самым маленьким, необходимо разобраться в специфике числового ряда.

Для удобства подсчета в математике принята система цифр и чисел. Цифра — это знак от 0 до 9. Числа складываются из цифр. Они бывают однозначные, двузначные, трехзначные и так далее. Однозначные числа состоят из одной цифры. Иными словами, они представляют собой первое число первого разряда класса единиц. Человеку, далекому от математики, может показаться такое описание достаточно сложным. Но на самом деле оно было придумано для упрощения подсчетов. При помощи разложения любого числа на разряды и классы можно быстро освоить счет, не пользуясь калькулятором. Элементарные знания математики необходимы как школьникам, так и взрослым людям. Конечно, не все специалисты используют в своей деятельности или повседневной жизни то, что было освоено во время изучения школьной программы. Но элементарное незнание числового ряда указывает на неграмотность. Математика — это язык, при помощи которого у человека появляется возможность осваивать другие точные науки. Без получения определенных знаний невозможно изучение физики, информатики и других дисциплин.

Какое самое маленькое число принято считать в математике однозначным? Если речь идет о полном числовом ряде, то самое маленькое число — это ноль. Его еще называют границей между отрицательным и положительным рядом. Ноль — это отсутствие предмета. Но на этот счет у ученых существует два мнения. В математике принято выделять числа натуральные. Они возникают естественным образом при подсчете. Последовательность натуральных чисел, расположенных в порядке возрастания, называется натуральным рядом. Самое маленькое натуральное число — единица. Именно с нее начинается счет. Когда человек видит перед собой несколько предметов, отсчет ведется не от 0, а от 1. Это совершенно логично и понятно.

Ряд однозначных чисел заканчивается девяткой. Именно 9 считается самым большим однозначным числом в ряду. Самое маленькое двузначное число — 10. Оно открывает разряд десятков. Важно понимать, что цифра в каждом последующем числовом ряду на порядок более значима, чем та, которая стоит в ряду предыдущем. Например единица десятков ровно в 10 раз больше единицы, принадлежащей к разряду единиц.

Почему ноль не входит в ряд натуральных чисел? Ответ очень прост. Ноль — это отсутствие чего либо. С него невозможно начать счет. Многие ученые считают, что 0 никак нельзя считать наименьшим числом, так как есть еще и числа отрицательного ряда. Таким образом, говорить о наименьшем числе невозможно. До сих пор не названы максимальное число в положительном числовом ряду и минимальное — в отрицательном. Ограничения можно установить только по классам. Для удобства подсчета в математике принято выделять классы единиц, тысяч, миллионов, триллионов и так далее. Самое маленькое число в классе тысяч, например, — 1000, а самое большое — 999 000. Для разложения любого числа в ряд не нужны специфические знания. Сделать это достаточно просто, если использовать специальные таблицы или он-лайн сервисы.

Самое маленькое однозначное число — это ноль. Но такой вариант ответа актуален только если речь идет обо всем положительном числовом ряде. Самое маленькое натуральное число в ряду — единица. Именно с него начинается предметный отсчет.

Последние опубликованные

Самая большая свинья в мире: где она живет? Рейтинг детских смесей: самые популярные производители

Малыши и математика. Часть 1.

Настольные игры и игры между делом.

---

Меня часто спрашивают, как заниматься математикой с детьми 4-7 лет.

Попробую систематизировать свой опыт.

В этом возрасте ведущая деятельность у детей игровая, это означает, что ребенок лучше всего учиться, когда играет. Играть много и с удовольствием – вот главный девиз этого возраста. Играть, изучая математику, играть, придумывая стратегии. Играть-играть-играть! Математике тоже можно учиться играя. Для этого подходят практически любые настольные игры, если немного пересмотреть правила и понять, чему можно научиться, играя. Я бы разделила занятия математикой с детьми этого возраста на три группы. Настольные игры и игры между делом, игры на планшете или компьютере и бумажные книжки или листочки с заданиями. В этой статье расскажу о настольных играх и играх между делом.

Настольные игры

Редко какой ребенок откажется сыграть с родителями в настольную игру. Это не только прекрасное время вдвоем (или втроем), которое можно использовать и с пользой, и с удовольствием. Основная задача этого возраста не только научиться считать по порядку, но научиться оперировать понятиями больше, меньше, на сколько больше, на сколько меньше, сколько надо добавить, чтоб стало поровну. Считать парами и тройками. Я же очень люблю учить детей думать, просчитывать варианты, видеть разные решения. Для этих задач отлично подходят настольные игры. Их можно разделить на несколько категорий.

Первая категория — это игры типа «Сет».

В этих играх основная задача научиться группировать предметы по разным признакам. Среди таких игр отмечу несколько.

---

Сюжет довольно прост, Барабашка нашел на чердаке камеру и фотографирует предметы, но камера сломанная, поэтому предметы получаются не совсем настоящими. В наборе есть настоящие деревянные фигурки: красное кресло, зеленая бутылка, синяя книга, серая мышка и Барабашка и карточки с фотографиями, где некоторые предметы такие же, как деревянные, а некоторые другого цвета. Если на картинке есть предмет такого же цвета, как и деревянный, надо хватать его, если нет таких предметов, то надо хватать барабашку. Сложно? Нет, не очень! Азартно и интересно, но помните, что вы играете с малышом, дайте ему достаточно времени подумать. Я, например, раньше мысленно считала до 15, потом до 10, зато сейчас часто не успеваю схватить и проигрываю. Игра отлично помогает разобраться с правилами и потом безошибочно решать задачки «Четвертый лишний» и понимать, что лишним предмет может быть по ряду признаков.

Сюжет довольно прост, Барабашка нашел на чердаке камеру и фотографирует предметы, но камера сломанная, поэтому предметы получаются не совсем настоящими. В наборе есть настоящие деревянные фигурки: красное кресло, зеленая бутылка, синяя книга, серая мышка и Барабашка и карточки с фотографиями, где некоторые предметы такие же, как деревянные, а некоторые другого цвета. Если на картинке есть предмет такого же цвета, как и деревянный, надо хватать его, если нет таких предметов, то надо хватать барабашку. Сложно? Нет, не очень! Азартно и интересно, но помните, что вы играете с малышом, дайте ему достаточно времени подумать. Я, например, раньше мысленно считала до 15, потом до 10, зато сейчас часто не успеваю схватить и проигрываю. Игра отлично помогает разобраться с правилами и потом безошибочно решать задачки «Четвертый лишний» и понимать, что лишним предмет может быть по ряду признаков.

---

Есть карточки, есть прекрасные мягкие резиновые фигурки. Нужно схватить ту фигурку, изображений которой больше на карточке. Если больше желтых, то схватить желтую краску, если больше желтых треугольных чудаков, то схватить и желтую краску, и треугольного чудака. Можно усложнить правила, и хватать тех, кого меньше. Можно смешать, и хватать, то тех, кого больше, то тех, кого меньше. В игре довольно много счета, даже можно начать изучать вычитание. Когда угадал, нужно пройти вперед на очко, когда не угадал, пойти назад и проверить потом по кругу с цифрами. Кстати эти круги мы используем и для подсчета в других играх. Таких игр довольно много, часто их рекомендуют с 6-7 лет, но на самом деле можно играть с младшего возраста, лет с четырех, главное немного упростить правила и не играть в полную силу.

---

Это не игры на счет, а на развитие зрительной памяти. Но эта память, развитая в детстве, отлично помогает в дальнейшей учебе. Ну и конечно, мы считаем карточки, когда выкладываем, потом считаем пары, когда подсчитываем результат. Разновидностей «Мемори» очень много, у нас любимые это «Паровозики из Чаггингтона» и «Мемори» с детенышами животных . Дети довольно быстро в эту игру начинают обыгрывать взрослых. В этом случае можно усложнять правила, пересаживаться раз в несколько ходов.

---

Есть игры, в которых существует несколько правильных вариантов хода, но один их них более выигрышный, чем остальные. Очень важно научить ребенка видеть разные варианты и просчитывать их.

Это очень мальчишеская игра, задача прийти скорее к финишу. Казалось бы, простая бродилка с кубиками, даже без цифр. Но почти каждый ход можно пойти разными способами, задача просчитать самый быстрый путь. Конечно, самым маленьким это сначала не под силу, они видят один вариант и очень рады, но всегда можно подсказать, объяснить и научить. Некоторые дети начинают видеть варианты быстрее, чем взрослые.

---

Она совсем не сложная, но позволяет научиться считать до 10, складывать, понимать, что больше, различать цифры от 1 до 5, и даже немного познакомиться с отрицательными числами. Очень хорошая идея, что кубики разного цвета стоят разное количество очков. Желтый 3, синий 2, а зеленый 1, и не всегда, где кубиков больше, больше очков. Сначала ребенку сложно понять, какой курятник самый выгодный, но довольно быстро он научится определять и сам считать, что выгоднее. Главное не торопить, дать подумать, посчитать на пальцах.

---

Игра с несложным сюжетом, но если выполнять все правила, то очень динамичная. Всего-то нужно бросить кубики, набрать груз в соответствии с выпавшими кубиками и быстро схватить лучший для задания грузовик. Быстро схватить малышу не удается, поэтому тут мы слегка изменили правила, и на первых порах даем выбрать лучший, попробовать разные, примерить медленно и вдумчиво, потом учим размещать груз оптимальным способом, но уже скоро ребенок начинает играть лучше взрослых и бойко считать свой выигрыш и штрафы родителей. Часто используя пальцы, но зато быстро и с энтузиазмом. Не стоит настаивать на строгом выполнении правил, идите за ребенком, смотрите, что ему уже под силу. Например, проходит достаточно много времени, пока ребенок научится правильно считать игровые деньги. Очень полезно научить расплачиваться, считать, сколько монеток он получит, если у него есть монетка в 10, а надо заплатить 7. Пусть считает на пальцах, это прекрасный инструмент для счета, данный природой.

---

Игра, в которой надо создавать собственных животных и на практике изучить, как работает естественный отбор. Для этого нужно выучить много разных свойств и хорошо считать. Очень важно в этой игре уметь определить, хватит ли корма на всех животных, каким животным надо пожертвовать, а каким напасть. Безусловно, есть много вариантов хода и каждый играет по-своему. В эту игру по-настоящему интересно играть и взрослым, и старшим детям, для меня до сих пор удивительно, что младшие дети могут играть на равных. У каждого ребенка тут своя стратегия и проявляются черты характера. Кто-то растит свое самое лучшее на свете животное, а кто-то все время нападает на других. Игра учит держать в памяти много деталей и подробностей.

---

Игра быстро помогает выучить числа от 1 до 99, но не помогает научится их складывать и вычитать. Ну и заодно отлично развивает память и внимание. Мы в нее играем на двух языках. Для начала сами доставайте из мешка бочонки и называйте цифры, но уже скоро у вас перехватят инициативу. Чуть позже эту же игру мы используем для того, чтобы выучить таблицу умножения.

---

Теперь пришла пора поговорить о играх-головоломках, в которых не нужен партнер для игр, и можно играть одному.

В игре есть карточки с заданиями, игровое поле и машинки. Задача – расставить машинки так, как нарисовано на картинке и передвигая выпустить маленькую красную машинку. Сначала ребенку довольно сложно соотнести картинку с игровым полем и расставить машинки так, как надо. Уже само это задание развивает пространственное мышление и оказывается не таким простым. Задания в этой игре разных уровней сложности, обычно первые 10-12 проходятся быстро, а затем дело стопорится. Отдельно продаются карточки с дополнительными заданиями, да и самим не сложно придумать простые задания.

---

Простая игра, нужно прыгать лягушками, пока на поле не останется только одна лягушка. Правила прыжков такие: можно прыгать, перепрыгивая только через одну другую лягушку (через две лягушки или через пустой листочек прыгать нельзя). Перепрыгнутая лягушка убирается с поля. Очень компактная, легко взять с собой в дорогу. Сложные уровни непростые даже для взрослых. Можно начинать играть с 5 лет.

---

Удивительно простые, компактные игры с совершенно безграничными возможностями. Можно собирать различные рисунки, выучить основные геометрические формы, а самое главное эти игры развивает пространственное воображения, которого так не хватает школьникам при изучении географии. В сети есть очень много интересных задачек к танграму.

---

Игры между делом.

Многие против того, чтобы давать калькулятор детям, мне же кажется он очень полезным и интересным предметом. Известно, что маленьким детям тяжело и утомительно писать цифры, а тут можно цифры диктовать.

– Напиши скорее 25, молодец, правильно!
– А теперь 101. Отлично!

– 2+4= Подожди, давай проверим, правильно ли калькулятор считает?
– Правильно!

Так и цифры можно подучить, на двух языках, и примеры порешать, и до таблицы умножения добраться. Хорошая игрушка!

---

Можно измерить свои игрушки, записать результаты и найти самого высокого зайца, можно померить и нарисовать план комнаты, можно отрезать полосочки бумаги, измерить их и разделить на разные или равные части. Например, разрезать 10 сантиметровую ленточку и посмотреть, из каких кусочков она теперь состоит. Можно взвешивать все, что угодно и определять, что тяжелее и что легче. Можно собрать предметы и попробовать без взвешивания разложить их от самого легкого и самому тяжелому, а потом взвесить и проверить. Рулеткой дети готовы измерять что угодно, высоту стульев и ширину лестницы, длину коридора или ширину стола. Можно нарисовать с ребенком план дома или квартиры и прятать в разных местах игрушки и показывать место на плане.

Рулетка, линейка и весы найдутся в каждом доме.

---

---

Я очень люблю играть в «Морской бой».

Игра простая, знакомая всем с детства, но ее можно отлично использовать, как обучающую игру. Для начала ввести понятие горизонтали и вертикали, и объяснить, что каждая точка на плоскости задается двумя координатами. Можно заменить буквы на цифры, можно провести ось и написать не только положительные, но и отрицательные числа и ноль. Ребенку очень интересны разные стратегии, как правильно расставить корабли, как проверить, какой корабль подбит, двухпалубный или четырехпалубный.

---

На самом деле это разновидность игры «Го». О, я помню исписанные тетрадки на уроках! Простые правила и азарт.
Игроки — синий и красный — ходят по очереди, точка ставится на пересечении горизонтальной и вертикальной линий. За один ход ставится только одна точка и она больше не передвигается. Необходимо окружать точки соперника, не давая окружать свои собственные. Побеждает игрок, который захватил больше точек соперника.

«Точки».

---

«Ладошки»

Игра, которая помогает очень быстро начать ориентироваться в цифрах от 0 до…. Ну скольких хотите. Для игры понадобятся два листа бумаги в клетку, на каждом листе игрок обводит свою ладонь. Теперь на пространстве, ограниченном рисунком, в произвольном порядке расставляются числа от 1 до … Тут нужно договориться заранее. Далее начинается игра. Один игрок называет произвольное число, другой в это время пытается найти это число на своей ладошке, а первый тем временем быстро ставит крестики в клеточках на своем листе, начиная с верхней левой клетки. Побеждает тот, кто быстрее заполнит крестиками все клетки своего поля.

---

Есть еще великое множество игр, созданных специально для обучения математике, но о них напишу в следующем выпуске. Играйте с детьми, получайте от этого удовольствие, учите играя, играя учитесь. И помните, что процесс должен быть в удовольствии! Результат не главное. Не торопите ребенка, начните играть по упрощенным правилам, постепенно усложняйте, давайте ребенку проигрывать и выигрывать.

---

images: Pixabay, архив автора

---

Все права защищены, при перепечатке материалов ссылка на сайт — ОБЯЗАТЕЛЬНА!
Read our disclaimer

Как научить малыша математике | сайт Сарапульских мам

Как научить ребенка математики
Математика… Для многих людей это самый сложный предмет в школе. А ведь потом она нужна на каждом шагу в нашей жизни. Заниматься математикой с малышом можно начинать уже с 2 лет. Сначала это игры и усвоение основных понятий. Если с раннего возраста заинтересовать малыша математикой, то вполне вероятно, позже она будет ему легко даваться, без приложения каких-то особых усилий.

Для самых маленьких математика не заключается только в изучении счета, чисел и т. д. Сначала нужно понять самые важные идеи. Для этого нужно использовать игровую форму. Например, считать можно учиться на лестнице. Она же помогает объяснить понятия сортировки, иерархии, роста и др. Можно разложить на ступеньках заготовленные большие цифры разных цветов. Прыгнув снизу  три раза по две ступеньки, получим шесть. Так можно обучать умножению. Подобным образом можно учиться и делить, хоть это и немного сложнее.

Все эти игры требуют активного участия взрослого. Например, есть смешная игра с роботом. Взрослый в роли робота стоит на ступеньке, например, с цифрой 5. Ребенок говорит «плюс три». Робот скачет по трем ступенькам, говоря механическим голосом что-то типа «Пять плюс три будет восемь». Позже можно и местами поменяться, давая ребенку возможность решать примеры.

Детям, которые собираются в скором времени в школу, тоже необходимы занятия по математике. Нужно учить малыша мыслить логически, концентрировать внимание, развивать память и воображение. Для этого можно воспользоваться специальными пособиями, книгами по арифметике.

Изучать математику можно постоянно, гуляя с малышом, во время обеда или чтения любимых книг. Например, идею количеств можно осваивать с помощью знакомых образов: на руке пять пальцев, у человека две руки, два глаза, уха. Делить что-либо проще всего пополам (это можно легко показать на примере яблока, пирога и т. д.).

Идея всеобщего эквивалента. Она достаточно сложна, но в виде игры ее можно объяснить. Выберите какой-то предмет, который малышу хорошо знаком, например, конфету на палочке. Позже используйте ее в качестве эквивалента. Например, желаемая игрушка стоит аж двадцать таких конфет. Еще можно дать ребенку какую-то купюру и водить его по магазину, показывая, что он может за нее приобрести.

Абстрактное мышление и идея символа. Ребенку нужно рассказать, какие общепринятые символы существуют. Например, красный крест и др. можно рассказывать о дорожных знаках, объясняя, почему именно те или другие символы выбраны для конкретного знака. Можно рассказать и о логотипах, эмблемах, товарных знаках, а также их предназначении. Можете попробовать вместе создать что-то подобное с помощью рисования, аппликации.

Идею неизвестного, а также его нахождения из косвенных данных можно пробовать объяснять даже самым маленьким – двухлеткам. Например, ставим на стол несколько игрушек, одну закрываем. Малыш должен сказать, какую игрушку невидно. Еще один вариант: две игрушки кладем на стол, накрываем. Незаметно под покров кладем третью. Потом открываем и просим кроху сказать, какая игрушка появилась. Деткам четырех лет нужно усложнить задачу. На столе раскладываем много игрушек, закрываем несколько. Спрашиваем, каких не видно и сколько их. Дети шести лет такие задачки должны решать уже в картинках.
Идею алгоритма можно объяснять, проделывая одни и те же действия, но разными способами.

Интересная игра «машинка-нарезалка-пополам». Она все предметы нарезает пополам. Один кусочек хлеба разрежет на два, два положишь – получится четыре. А сколько будет, если три мандаринки положить? Все это должно быть в форме игры, без лишних слов, вместо которых используйте больше аллегорий, образов.

Можно алгоритм изучать и с помощью зеркала. Нарисуйте половинку цветка, приложите к зеркалу – получится целый. Нарисуете один – получится два и т. д.

Детям пяти-шести лет попробуйте предложить поиграть с машинкой, которая прибавляет к любому количеству два, три. Позже можно таким же способом изучать деление, умножение. Также интересно играть в того же робота. Только теперь его программируем на некоторый алгоритм: как почистить зубы и т. д.

Для тех, кто любит рисовать, подойдет игра в «паттерны». Это такие узоры, которые повторяются, изменяются по каким-то заданным правилам. Можно в виде паттернов придумывать и кричалки, например, имитирующие звуки животных: «Хрю-хрю-кря! Хрю-хрю-кря!». Такой игре будут рады и двухлетние малыши, даже не подозревая, что таким образом они чему-то учатся.

Постарайтесь объяснить малышу и идею множеств. Помогите усвоить самые простые классификации: табуретки, шкафы – это мебель; ботинки и туфли – это обувь; курица – это птица, а кошка – животное. Растолкуйте, какие предметы живые, а какие неживые. Пересечения множеств можно объяснять на примере еды, игрушек. Например, одно яблоко большое, но не зеленое. Второе зеленое, но не большое. А есть большое и зеленое. Детки двух лет поиграют с вами в отрицание. Попросите принести не яблоко или не игрушечный молоток. Суть в том, что ребенок может принести что угодно, кроме этого предмета.
В любом возрасте занятия, к которым ребенка принуждают (хотя это касается и взрослых), получаются плохо и толку от них мало. Поэтому задание родителей — заинтересовать малыша как можно раньше разными занятиями и математикой в том числе. Чем более подготовлен ребенок с раннего возраста, тем легче ему потом. Но все занятия должны быть интересны, чтобы ребенок сам хотел приступать к ним. Делать что-либо против воли малыша – значит привить с раннего возраста отвращение к учебе и предмету.

Для того чтобы математика хорошо давалась ребенку, нужно поощрять его фантазию, помогать (ни в коем случае не запрещать) придумывать собственные слова, персонажей. Но неологизмы тоже нужно верно склонять. Пускай кроха описывает выдуманного им персонажа: какого он цвета и формы, где живет и что ест. Очень важно также расширять словарный запас ребенка и тренировать его память. Для этого можно читать стихи без последнего слова в строчке, которое в рифму должен назвать ребенок.

Читайте также:

 

SMALL — математика и статистика

SMALL Undergraduate Research Project — это девятинедельная летняя программа, в рамках которой студенты исследуют открытые исследовательские задачи по математике. SMALL, одна из крупнейших программ такого рода в стране, частично поддерживается грантом Национального научного фонда на проведение исследований для студентов и Научным центром колледжа Уильямс. С момента его создания в 1988 году в проекте приняли участие около 500 студентов.

Студенты работают в небольших группах под руководством отдельных преподавателей. Многие участники опубликовали статьи и представили доклады на исследовательских конференциях, основанные на работе, проделанной в SMALL. Некоторые из них получили степень доктора математики. В нерабочее время студенты наслаждаются многочисленными летними развлечениями в Беркшире: походы, езда на велосипеде, спектакли, концерты и т. Д. Еженедельные обеды, чаепития и случайные спортивные мероприятия объединяют МАЛЕНЬКИХ студентов вместе с преподавателями и другими студентами, проводящими лето, занимаясь исследованиями в Williams. Колледж.

Посмотрите несколько фотоальбомов: альбом 2016 года; Альбом 2014 года; 2013: альбом A и альбом B; Альбом 2012 года.

Программа продлится 9 недель в Williams, вероятно, с 15 июня по 15 августа 2021 года, с оплачиваемой десятой неделей дома. В настоящее время мы не знаем, возможно ли личное общение. Подайте заявку на сайте http://www.mathprograms.org/db (он будет указан в Williams College как SMALLREU). Организуйте загрузку одного рекомендательного письма и заполните дополнительную информацию (pdf: SMALLApplicationDocGeneral.pdf или файл Word: SMALLApplicationDocGeneral.pdf). Для получения дополнительной информации о программе (включая стипендии, поездки, питание и т. Д.) Щелкните здесь, на странице заявки.

Мы создали страницу с часто задаваемыми вопросами; нажмите здесь, чтобы увидеть их и ответить. Если это не отвечает на ваши вопросы или вам нужна дополнительная информация, свяжитесь с директором программы по адресу [адрес электронной почты защищен].

МАЛЫЕ 2021 ГРУППЫ

Ниже приводится список проектов на 2021 год.ПРИМЕЧАНИЕ. СПИСОК МОЖЕТ ИЗМЕНИТЬСЯ, И НЕКОТОРЫЕ ГРУППЫ МОГУТ НЕ ЗАПУСАТЬСЯ; ВСЕ ПЕЧАЛЬНО ЕЩЕ В ПОТОКЕ! Пожалуйста, напишите директору ([электронная почта защищена]) с вопросами. Это «Игры с запуском микросхем» (Ральф Моррисон), «Теория чисел и вероятность» (Стивен Дж. Миллер) и «Связи через диофантовы уравнения» (Ева Гедхарт).

ПОМНИТЕ, КОГДА ВЫ ПОДАТЬ ЗАЯВКУ НА MATHPROGRAMS.ORG, ЧТОБЫ ПОДАТЬ ЗАЯВКУ В ГРУППУ, ВЫ ХОТИТЕ. НЕ ПРИМЕНЯЙТЕСЬ БОЛЬШЕ, ЧЕМ ОДНА ИЗ ЧЕТЫРЕХ ГРУПП; ЕСЛИ ВЫ ДАЕТЕ, ВАШЕ ЗАЯВЛЕНИЕ НЕ БУДЕТ ПРОЧИТАТЬСЯ. Подача заявок в среду, 3 февраля, до 17:00 по восточному времени.

Советник: Ральф Моррисон

Описание проекта:

Граф — это набор узлов (или вершин), соединенных ребрами. Мы играем в игру с запуском фишек на таком графе, помещая целое количество фишек в каждый узел графа, а затем перемещая их в соответствии с движениями по запуску фишек, когда один узел отдает фишки своим соседям, по одному вдоль каждого края. . Вы можете попробовать это здесь! Эта простая игра приводит к удивительно красивой и сложной математике с приложениями к таким разрозненным областям, как теория графов, динамические системы и алгебраическая геометрия.Наша группа будет изучать игры с запуском чипов и математику, к которой они приводят, как это подробно описано в некоторых возможных проектах ниже. Простейшая игра с запуском фишек, подобная той, что указана выше, имеет цель исключить все «долги» (или отрицательное количество фишек) из графика. Чуть более сложная игра выглядит так: вы кладете на график тыс. фишек, а затем противник размещает -1 фишек. Вы попадаете в огонь, чтобы попытаться погасить долг. Если вы можете удалить его, вы выиграете; если вы не можете, тогда ваш противник побеждает. gonality графика — это наименьшее значение k , так что у вас есть выигрышная стратегия. Это число сложно (на самом деле NP-сложно!) Вычислить, но мы можем попытаться вычислить его для определенных семейств графов. Например, моя группа SMALL 2018 определила гональность склеенных сеточных графов; и МАЛЕНЬКИЙ выпускник, и я изучал, как ведет себя гональность при использовании декартовых произведений графов. Другая стратегия — изучать графы с небольшой гональностью, такой как гональность 2 или (как это сделал SMALL 2018) гональность 3.По-прежнему существует множество открытых семейств графов, формации которых неизвестны, и их было бы здорово изучить! Мы также можем взглянуть на игры с запуском фишек на метрических графах, ребрам которых присвоены длины, и еще раз спросить об их гональности. Это особенно интересно, если эти метрические графики взяты из тропических кривых.

Есть также обобщения игры гональности: например, что, если противник поставит -2 фишки? Или -3? Или больше? Мы все еще можем спросить, сколько фишек нам нужно, чтобы гарантированно выиграть; мы называем эти числа второй гональностью, третьей гональностью и так далее.Известно несколько результатов о высших угольностях графов, но остается еще много открытых вопросов.

Наша группа также может изучать вычислительные вопросы, связанные с гональностью графов. Хотя в целом это NP-сложно вычислить, мы можем надеяться, что для некоторых семейств графов это не так уж и сложно. Например, проверить, имеет ли граф гональность 2, можно за квазилинейное время! Мы могли бы попытаться найти аналогичные результаты для графов гональности 3 или для вычисления гональности плоских графов.Для нас также было бы фантастическим реализовать алгоритмы для вычисления гональности и выполнения других операций по запуску микросхем для использования исследователями или в классе.

Советник: Ева Гедхарт

Описание проекта:

Описание проекта: Теория чисел, алгебра, комбинаторика и анализ используются для решения диофантовых уравнений, полиномиальных уравнений с целыми коэффициентами. На протяжении сотен лет диофантовый анализ остается в центре внимания исследований.Он дал множество прекрасных результатов и нашел широкое применение в других областях математики, в криптографии и в естественных науках.

Благодаря исследованиям диофантовых уравнений мы видим множество связей между математическими областями. Этот проект стремится установить эти связи, а также наладить новое сотрудничество между людьми. Это включает людей в группах, а также других исследователей диофантовых уравнений со всего мира.

Проекты по диофантовым уравнениям варьируются от поиска всех решений уравнений типа Лебега-Наггелла, используя существование примитивных делителей чисел Люка и Лемера, до решения экспоненциальных диофантовых уравнений с использованием оценок неравенств и непрерывных дробей.5 ”, период г. Математика. Висела. 75 (2017), вып. 2, 196–200. (https://arxiv.org/abs/1409.2463)

Советник: Стивен Дж. Миллер и, возможно, другие

Описание проекта:

Мы исследуем множество взаимодействий между теорией чисел и вероятностным / гармоническим анализом с проектами, взятыми из L-функций, теории случайных матриц, аддитивной теории чисел (например, задачи 3x + 1 и разложения Цекендорфа) и закона Бенфорда. Общей темой для многих из этих систем является либо вероятностная модель, либо эвристика.Например, теория случайных матриц была разработана для изучения уровней энергии тяжелых ядер. Хотя может быть сложно проанализировать поведение конкретной конфигурации, часто можно сказать что-то о конфигурациях в совокупности. Например, часто легко вычислить среднее значение по всем конфигурациям, а затем обратиться к результату типа центральной предельной теоремы, чтобы сказать, что поведение общей системы близко к этому среднему значению. Эти методы были применены ко многим задачам, от поведения L-функций до структуры сетей и городского транспорта.

Задачи будут выбраны студентами, заинтересованными в этих и других связанных темах. Ссылки по каждому набору проблем и дополнительные сведения см. По адресу http://www.williams.edu/Mat Mathematics/sjmiller/public_html/ntprob19, и вы можете получить доступ к моим статьям на моей домашней странице https://web.williams.edu /Mat Mathematics/sjmiller/public_html/math/papers/papers.html, а также видео и слайды для выступлений на https://web.williams.edu/Mat Mathematics/sjmiller/public_html/math/talks/talks.html

самых коротких статей по математике в мире | by Ahitagni

Последняя теорема Ферма и гипотеза Эйлера

Контрпример гипотезы Эйлера о сумме одинаковых степеней

Это одна из самых коротких статей по математике в мире, датируемая 1966 годом.Хотя он действительно короткий, но в нем довольно много! Начнем с Великой теоремы Ферма, которая была открыта Ферма и позже доказана доктором Эндрю Уайлсом в 1993 году. В ней говорится, что любое уравнение вида:

Последняя теорема Ферма

не имеет целочисленных решений x, y и z. для n> 2. В 1630-х годах Пьер де Ферма поставил перед математиками сложную задачу, сделав заметку на полях страницы, заявив, что у него есть поистине изумительное доказательство проблемы, но поле было слишком узким, чтобы вместить все это, по его словам, «Hanc marginis exiguitas non caperet».Мир не знал об этом маленьком зверьке в течение многих лет после смерти Ферма, поскольку в книге «Арифметика Дьяфанти» проблема была написана на том, что он собирает пыль. Однако через несколько лет после его смерти сын Ферма, Самуэль Клеман, заново открыв это, опубликовал новую версию книги «Arithmeticorvm by Diaphanti», содержащую все заметки Ферма (их было множество!) Как открытые математические задачи для людей. решать.

Более 350 лет спустя математик Эндрю Уайлс наконец закрыл книгу о Великой теореме Ферма своим 109-страничным докладом «Модульные эллиптические кривые и Великая теорема Ферма».«Хотя 109 страниц явно не были чем-то, что можно было бы изложить на полях книги, никто не знает, действительно ли Ферма знал доказательства этого. Фактически, люди смогли найти доказательства любой другой проблемы, представленной в книге, опубликованной Клеманом, за исключением той, на которую ушло 350 лет. Хотя теорема Ферма остается одной из самых известных теорем века, есть аналогичная теорема, выдвинутая Эйлером (1707–83), который утверждал, что любые уравнения вида:

Гипотеза Эйлера

не имеет целочисленного решения для k> п.Вы можете подумать, что она очень похожа на Последнюю теорему Ферма, но на самом деле она является обобщением последней теоремы Ферма, однако, как и Последняя теорема Ферма, она была опубликована без каких-либо доказательств, что само собой разумеется. Однако интересно отметить, что обобщение последней теоремы Ферма на самом деле неверно. В статье, которая сейчас является одной из самых коротких статей по математике в истории, Ландер и Паркин доказали то же самое. Было замечено, что существует по крайней мере одно решение гипотезы Эйлера для n = 4 и k = 5, как показано в статье:

, что противоречит тому, чего Эйлер надеялся достичь с помощью обобщения.Таким образом, этот пример полностью опровергает гипотезу Эйлера и, следовательно, также имеет название «Контрпримеры к гипотезе Эйлера о суммах одинаковых степеней».

Эта статья была рекордсменом по самой короткой математической работе в истории в течение нескольких лет, однако теперь рекорд побит статья из Принстонского университета, которую я буду обсуждать в следующей части серии!

Гомер говорит: «Спасибо за чтение»

Арифметика — GRE Math

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в качестве ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Решили? Самый маленький и большой треугольник в мире | Математика

Ранее сегодня я попросил вас построить треугольник, существование которого, кажется, противоречит разуму.

Покажите, что существует треугольник, сумма трех высот которого меньше 1 мм, который имеет площадь больше поверхности Земли (510 км ² ).

Решение

Вот одно:

без масштабирования!

Треугольник равнобедренный (то есть две стороны имеют одинаковую длину), имеет высоту 0,2 мм и основание в несколько сотен световых лет.

Я медленно расскажу, как я туда попал. Площадь треугольника равна половине основания, умноженной на высоту.Поскольку существует три возможных основания (и высоты), существует три способа описания площади одного и того же треугольника. Если треугольник T имеет длину стороны a, b, и c, и h _a — это высота от стороны a, до противоположной вершины, h _b — высота от стороны b. до противоположной вершины и h _c — высота от стороны c до противоположной вершины , , тогда площадь T может быть выражена как ( ah _a ) / 2, ( bh _b ) / 2 или ( ch _c ) / 2, которые имеют одинаковое значение.

Запишем это математически:

( ah _a ) / 2 = ( bh _b ) / 2 = ( ch _c ) / 2,

Отсюда мы можем сделать вывод, что h _b = ( a / b) h _a , и аналогично, что h _c = ( a / c) h _a .

Таким образом, для любого треугольника T мы можем записать сумму всех трех высот через сумму одной высоты:

h _a + h _b + h _c = h _a + ( a / b) h _a + ( a / c) h _a .

А теперь самое интересное. Представим, что T — равнобедренный треугольник со сторонами b = c . Доля a / b всегда будет меньше 2. Мы можем увидеть это, посмотрев на диаграмму ниже. Когда b (и c ) длиннее a , как на рисунке слева, тогда a / b меньше 1. Поскольку b (и c ) становится все короче и короче. , он будет только вдвое меньше a , когда b лежит вдоль a , и треугольник исчезнет.Таким образом, отношение a / b (и a / c ) никогда не достигает 2.

Другими словами, для равнобедренного треугольника T,

h _a + h _b + h _c < h _a + 2 h _a + 2 h _a = 5 h _a

В переводе на английский это означает, что для любого равнобедренного треугольника , сумма трех его значений всегда меньше пятикратной высоты, измеренной с «неравной» стороны, независимо от длин сторон (поскольку они не упоминаются в уравнении).

Как следствие, мы можем сделать сумму высот T как можно меньше, потому что мы можем сделать высоту от «неравной» стороны до противоположной вершины сколь угодно малой. Мы можем сделать площадь T сколь угодно большой, поскольку площадь T равна 1/2 x основание x высота, и поэтому все, что нам нужно сделать, это выбрать очень большое основание, чтобы компенсировать небольшие (но конечные) рост.

Например, если рассмотреть нижеприведенный треугольник T, в котором h _a = 0.2мм. Поскольку 5 h _a = 1 мм, мы имеем ситуацию, упомянутую в вопросе, а именно, что сумма трех высот меньше 1 мм.

Теперь нам нужно найти такое значение для a , чтобы площадь T была больше площади Земли (510 000 000 км ² ).

Другими словами, 1/2 x a x 0,2 мм> 510 000 000 км ² .

Фактически, предположим, что 1/2 x a x 0,2 мм = 511 000 000 км ² , поскольку это значение работает.

0,2 ​​мм = 0,0000002 км

Что дает нам a = 5,110,000,000,000,000 км

без масштабирования! Фотография: alex bellos

Надеюсь, вам понравилась сегодняшняя головоломка. Я вернусь через две недели.

Еще раз спасибо Trần Phương, вьетнамскому гуру математики, придумавшему эту головоломку.

• Я задаю здесь головоломку каждые две недели по понедельникам. Я всегда ищу отличные головоломки. Если вы хотите предложить один, напишите мне.

Погрузитесь в математику, почему одни бесконечности больше других

Простые математические концепции, такие как счет, по-видимому, прочно укоренились в естественном процессе мышления.Исследования показали, что даже очень маленькие дети и животные в определенной степени обладают такими навыками. Это неудивительно, потому что счет чрезвычайно полезен с точки зрения эволюции. Например, это требуется даже для очень простых форм торговли. А счет помогает оценить размер вражеской группы и, соответственно, лучше атаковать или отступать.

За последние тысячелетия люди выработали замечательное понятие счета. Первоначально применяемый к небольшому количеству объектов, он был легко расширен до самых разных порядков величины.Вскоре появилась математическая основа, которую можно было использовать для описания огромных величин, таких как расстояние между галактиками или количество элементарных частиц во Вселенной, а также едва мыслимые расстояния в микромире, между атомами или кварками.

Мы можем работать даже с числами, которые выходят за рамки того, что в настоящее время известно как относящееся к описанию Вселенной. Например, число 10 ^{10 100} (за единицей следует 10 ¹⁰⁰ нулей, из которых 10 ¹⁰⁰ представляют собой единицу, за которой следуют 100 нулей) можно записать и использовать во всех видах вычислений.Однако запись этого числа в обычном десятичном представлении потребовала бы больше элементарных частиц, чем, вероятно, содержится во Вселенной, даже если использовать только одну частицу на цифру. По оценкам физиков, наш космос содержит менее 10 ¹⁰⁰ частиц.

Однако даже такие невообразимо большие числа исчезающе малы по сравнению с бесконечными множествами, которые играли важную роль в математике более 100 лет. Простой подсчет предметов приводит к набору натуральных чисел ℕ = {0, 1, 2, 3,…}, с которыми многие из нас сталкиваются в школе.Однако даже эта, казалось бы, простая концепция представляет собой проблему: не существует наибольшего натурального числа. Если вы продолжите считать, вы всегда сможете найти большее число.

Может ли вообще существовать бесконечное множество? В 19 веке этот вопрос был очень спорным. В философии все еще может быть так. Но в современной математике существование бесконечных множеств просто считается истинным — постулируется как аксиома, не требующая доказательства.

Теория множеств — это больше, чем описание множеств.Так же, как в арифметике вы учитесь применять арифметические операции к числам — например, сложение или умножение — вы также можете определять теоретико-множественные операции, которые генерируют новые множества из заданных. Вы можете взять объединения — {1, 2} и {2, 3, 4} становится {1, 2, 3, 4} — или пересечения — {1, 2} и {2, 3, 4} становится {2}. Что еще более интересно, вы можете формировать наборы степеней — семейство всех подмножеств набора.

Сравнение размеров набора

Набор мощности P (X) набора X может быть легко рассчитан для малых X.Например, {1, 2} дает P ({1,2}) = {{}, {1}, {2}, {1, 2}}. Но P (X) быстро растет для большего X. Например, каждый 10-элементный набор имеет 2 ¹⁰ = 1024 подмножества. Если вы действительно хотите бросить вызов своему воображению, попробуйте сформировать набор мощности из бесконечного набора. Например, набор степеней натуральных чисел, P (ℕ), содержит пустой набор, собственно ℕ, набор всех четных чисел, простых чисел, набор всех чисел с суммой цифр, составляющей 2021, {12, 17} и многое другое.Оказывается, количество элементов этого набора мощности превышает количество элементов набора натуральных чисел.

Чтобы понять, что это значит, сначала нужно понять, как определяется размер наборов. Для конечного случая вы можете подсчитать соответствующие элементы. Например, {1, 2, 3} и {Cantor, Gödel, Cohen} имеют одинаковый размер. Если вы хотите сравнить наборы с большим количеством (но конечным числом) элементов, есть два хорошо зарекомендовавших себя метода. Одна из возможностей — подсчитать количество объектов, содержащихся в каждом наборе, и сравнить числа.Однако иногда легче сопоставить элементы одного набора с другим. Тогда два набора имеют одинаковый размер тогда и только тогда, когда каждый элемент одного набора может быть однозначно спарен с элементом другого набора (в нашем примере: 1 → Cantor, 2 → Gödel, 3 → Cohen).

Этот метод спаривания также работает для бесконечных множеств. Здесь вместо того, чтобы сначала считать, а затем выводить такие понятия, как «больше чем» или «равно», вы следуете обратной стратегии. Вы начинаете с определения того, что означает, что два набора, A и B, имеют одинаковый размер, а именно, есть отображение, которое связывает каждый элемент A с ровно одним элементом B (так, чтобы ни один элемент B не остался) .Такое отображение называется биекцией.

Аналогично, A определяется как меньшее или равное B, если существует отображение из A в B, которое использует каждый элемент B не более одного раза.

После этих понятий размер множеств обозначается количественными числами, или кардиналами. Для конечных множеств это обычные натуральные числа. Но для бесконечных множеств это абстрактные величины, которые просто отражают понятие «размер». Например, «счетный» — это кардинальное число натуральных чисел (и, следовательно, каждого набора, который имеет тот же размер, что и натуральные числа).Оказывается, кардиналы разные. То есть есть бесконечные множества A и B, между которыми нет взаимно однозначного соответствия.

На первый взгляд такое определение размера, кажется, ведет к противоречиям, которые были разработаны богемским математиком Бернардом Больцано в книге Paradoxes of the Infinite, , опубликованной посмертно в 1851 году. Например, Евклид «Целое больше части». кажется самоочевидным. Это означает, что если набор A является правильным подмножеством B (то есть каждый элемент A находится в B, но B содержит дополнительные элементы), то A должен быть меньше B.Однако это утверждение неверно для бесконечных множеств! Это любопытное свойство — одна из причин, по которой некоторые ученые отвергли концепцию бесконечных множеств более 100 лет назад.

Например, набор четных чисел E = {0, 2, 4, 6,…} является правильным подмножеством натуральных чисел ℕ = {0, 1, 2,…}. Интуитивно вы можете подумать, что множество E вдвое меньше ℕ. Но на самом деле, согласно нашему определению, множества имеют одинаковый размер, потому что каждому числу n в E можно присвоить ровно одно число в ℕ (0 → 0, 2 → 1, 4 → 2,…, n → n / 2 ,…).

Следовательно, понятие «размер» для наборов может быть отклонено как бессмысленное. В качестве альтернативы это можно было бы назвать как-нибудь иначе: мощность , например . Для простоты мы будем придерживаться общепринятой терминологии, даже если она имеет неожиданные последствия на бесконечности.

В конце 1800-х годов немецкий логик Георг Кантор, основатель современной теории множеств, обнаружил, что не все бесконечные множества равны. Согласно его доказательству, набор мощности P (X) (конечного или бесконечного) множества X всегда больше самого X.Среди прочего, отсюда следует, что не существует наибольшей бесконечности и, следовательно, нет «множества всех множеств».

Нерешенная гипотеза

Однако есть нечто вроде наименьшей бесконечности: все бесконечные множества больше или равны натуральным числам. Множества X, которые имеют тот же размер, что и ℕ (с биекцией между ℕ и X), называются счетными; их мощность обозначается ℵ ₀ , или aleph null. Для каждого бесконечного кардинала ℵ _a существует следующее большее кардинальное число ℵ _{a +1} .Таким образом, за наименьшим бесконечным кардиналом ℵ ₀ следует ℵ ₁ , затем ℵ ₂ и так далее. Набор ℝ действительных чисел (также называемый действительной линией) такой же большой, как набор степеней, и эта мощность обозначается 2 ^{ℵ ₀} , или «континуум».

В 1870-х годах Кантор размышлял о том, является ли размер наименьшим возможным кардиналом выше ₀ — другими словами, является ли ℵ ₁ = 2 ^{ℵ ₀} . Раньше каждое бесконечное подмножество изучаемого оказывалось размером с ℕ или.Это привело Кантора к так называемой континуальной гипотезе (CH): утверждению, что размер ℝ является наименьшим возможным несчетным кардиналом. На протяжении десятилетий Ч. занимала математиков, но доказательства ускользнули от них. Позже стало ясно, что их усилия с самого начала были обречены.

Теория множеств чрезвычайно мощна. Он может описывать практически все математические концепции. Но у него есть и ограничения. Эта область основана на аксиоматической системе, сформулированной более 100 лет назад немецким логиком Эрнстом Цермело и разработанной его немецко-израильским коллегой Абрахамом Френкелем.Называемая ZFC или теорией множеств Цермело-Френкеля (C означает «аксиома выбора»), система представляет собой набор основных предположений, достаточных для выполнения почти всей математики. Очень немногие проблемы требуют дополнительных предположений. Но в 1931 году австрийский математик Курт Гёдель признал, что система имеет фундаментальный недостаток: она неполна. То есть можно сформулировать математические утверждения, которые нельзя ни опровергнуть, ни доказать с помощью ZFC. Помимо прочего, система не может доказать свою непротиворечивость.

Самый известный пример неразрешимости в теории множеств — CH. В статье, опубликованной в 1938 году, Гёдель доказал, что CH не может быть опровергнута в рамках ZFC. Это также невозможно доказать, как показал Пол Коэн 25 лет спустя. Таким образом, невозможно решить CH, используя обычные аксиомы теории множеств. Следовательно, остается неясным, существуют ли множества, которые больше, чем натуральные числа, и меньше, чем действительные числа.

Количество элементов — не единственное понятие, описывающее размер набора.Например, с точки зрения геометрии, подмножествам реальной прямой, двумерной плоскости (иногда называемой плоскостью x-y) или трехмерному пространству можно присвоить длину, площадь или объем. Набор точек на плоскости, образующих прямоугольник с длинами сторон a и b , имеет площадь a ∙ b . Для вычисления площади более сложных подмножеств плоскости иногда требуются другие инструменты, такие как интегральное исчисление, преподаваемое в школе.Этот метод не подходит для некоторых сложных наборов. Но многие из них все еще можно количественно оценить с помощью меры Лебега, функции, которая присваивает длину, площадь или объем чрезвычайно сложным объектам. Даже в этом случае можно определить подмножества или плоскости, которые настолько изношены, что их вообще невозможно измерить.

В двухмерном пространстве линия (например, длина окружности, конечный сегмент или прямая линия) всегда измерима, а ее площадь равна нулю. Поэтому он называется нулевым набором.Нулевые наборы также могут быть определены в одном измерении. На действительной прямой набор с двумя элементами, например {3, 5}, имеет нулевую меру, тогда как интервал, такой как [3, 5], то есть действительные числа от трех до пяти, имеет меру два. .

Незначительные наборы

Концепция нулевого множества чрезвычайно полезна в математике. Часто теорема верна не для всех действительных чисел, но может быть доказана для всех действительных чисел за пределами нулевого набора. Обычно этого достаточно для большинства приложений.Тем не менее, нулевые наборы могут показаться довольно большими. Например, рациональные числа в вещественной строке являются нулевым набором, хотя их бесконечно много. Это потому, что любое счетное или конечное множество является нулевым множеством. Обратное неверно: подмножество плоскости x-y с большой мощностью не обязательно должно быть ни измеримым, ни большим. Например, вся плоскость с ее 2 ^{ℵ ₀} элементами имеет бесконечную меру. Но ось x с той же мощностью имеет нулевую двумерную меру (или «площадь») и, таким образом, является нулевым набором плоскости.

Такие «незначительные» множества привели к фундаментальным вопросам о размере 10 бесконечных кардиналов, которые долгое время оставались без ответа. Например, математики хотели знать минимальный размер, который должен иметь набор, чтобы он не был нулевым. Семейство всех нулевых множеств обозначается 𝒩, а наименьшая мощность ненулевого множества обозначается non (𝒩). Отсюда следует, что ℵ ₀ ℵ ₀ , потому что любой набор размера ℵ ₀ является нулевым набором, а вся плоскость имеет размер 2 ^{ℵ ₀} и не нулевой набор.Таким образом, ℵ ₁ ≤ non (𝒩) ≤ 2 ^{ℵ ₀} , потому что ℵ ₁ — наименьший несчетный кардинал. Если принять CH, то non (𝒩) = 2 ^₀ , потому что в этом случае ℵ ₁ = 2 ^{ℵ ₀} .

Мы можем определить другое кардинальное число, add (𝒩), чтобы ответить на вопрос: каково минимальное количество нулевых множеств, объединение которых является ненулевым множеством? Это число меньше или равно не (): если A ненулевое множество, содержащее не (𝒩) много элементов, объединение всех не (𝒩) многих одноэлементных подмножеств A является ненулевым установить A.Но меньшее количество нулевых наборов (хотя они не были бы одноэлементными наборами) также могло удовлетворить требованиям. Следовательно, имеет место add (𝒩) ≤ non (𝒩).

Кардинальный ков (𝒩) — это наименьшее количество нулевых множеств, объединение которых дает всю плоскость. Также легко увидеть, что add (𝒩) меньше или равно cov (𝒩), потому что, как уже упоминалось, плоскость не является нулевым множеством.

Мы также можем рассмотреть cof (𝒩), наименьший возможный размер базиса X в. То есть набор X нулевых наборов, который содержит надмножество B каждого нулевого набора A.(Это означает, что A является подмножеством B.) Эти бесконечные кардиналы — add (𝒩), cov (𝒩), non (𝒩) и cof () — являются важными характеристиками семейства нулевых множеств.

Для каждой из этих четырех основных характеристик аналогичная характеристика может быть определена с использованием другой концепции малых или незначительных множеств. Это другое понятие малости — «скудное». Скудное множество — это множество, содержащееся в счетном объединении нигде не плотных множеств, таких как длина окружности на плоскости или конечное или счетное количество таких окружностей.В одном измерении нормальные числа образуют скудный набор на действительной линии, в то время как остальные действительные числа, ненормальные числа, составляют нулевой набор.

Соответственно, соответствующие кардинальные характеристики могут быть определены для семейства скудных множеств: add (ℳ), non (ℳ), cov (ℳ) и cof (ℳ). В CH все характеристики одинаковы, а именно ℵ ₁ , как для нулевого, так и для скудного наборов. С другой стороны, используя метод «принуждения», разработанный Коэном, математики Кеннет Кунен и Арнольд Миллер смогли в 1981 году показать, что невозможно доказать утверждение add (𝒩) = add (ℳ) в ZFC.Другими словами, количество нулевых и скудных наборов, которые должны быть объединены, чтобы получить неотъемлемый набор, не доказуемо равны.

Форсирование — это метод построения математических вселенных. Математическая вселенная — это модель, удовлетворяющая аксиомам ZFC. Чтобы показать, что утверждение X не опровергается в ZFC, достаточно найти вселенную, в которой допустимы и ZFC, и X. Точно так же, чтобы показать, что X недоказуемо с помощью ZFC, достаточно найти вселенную, в которой ZFC выполняется, но X не работает.

Математические вселенные с удивительными свойствами

Кунен и Миллер использовали этот метод для построения математической вселенной, которая удовлетворяет add (𝒩)

Напротив, Томек Бартошинский три года спустя обнаружил, что обратное неравенство add (𝒩) ≤ add (ℳ) может быть доказано с помощью ZFC. Это указывает на асимметрию между двумя понятиями малости.Заметим, что эта асимметрия не видна, если мы предположим CH, потому что CH подразумевает ₁ = add (𝒩) = add (ℳ).

Подводя итог: add (𝒩) ≤ add (ℳ) доказуемо, но ни add (𝒩) = add (ℳ), ни add (𝒩) 1 ≤ 2 ^{ℵ ₀} , но ни ℵ ₁ <2 ^{ℵ ₀} , ни ℵ ₁ = 2 ^{ℵ ₀} доказуемо.

В дополнение к кардинальным числам, определенным до сих пор, есть две важные кардинальные характеристики — 𝔟 и 𝔡 — которые относятся к доминирующим функциям действительных чисел.Для двух непрерывных функций (из них 2 ^{ℵ ₀} много) f и g, говорят, что f преобладает над g , если неравенство f ( x ) < г ( x ) вмещает все достаточно большие x . Например, квадратичная функция, такая как g ( x ) = x ² , всегда доминирует над линейной функцией, скажем, f ( x ) = 100 x + 30.

Кардинальное число 𝔡 определяется как наименьший возможный размер набора непрерывных функций, достаточный для доминирования над любой возможной непрерывной функцией.

Вариант этого определения дает кардинальное число 𝔟, а именно наименьший размер семейства B с тем свойством, что не существует непрерывной функции, которая доминирует над всеми функциями B. Можно показать, что ℵ ₁ ≤ 𝔟 ≤ 𝔡 ≤ 2 ^{ℵ ₀} удерж.

Было показано, что между 12 бесконечными кардиналами, которые мы только что определили, выполняется несколько дополнительных неравенств.Все эти неравенства резюмированы на диаграмме Цихона, представленной британским математиком Дэвидом Фремлином в 1984 году и названной в честь его польского коллеги Яцека Цихона. По типографским причинам знаки «меньше или равно» заменены стрелками.

Предоставлено: Якоб Келлнер

Есть два дополнительных отношения: Добавить (ℳ) — меньшее из 𝔟 и cov (ℳ). Точно так же cof (ℳ) больше из 𝔡 и non (ℳ). Эти два «зависимых» кардинала отмечены рамкой на диаграмме Цихона. Таким образом, диаграмма включает 12 бесчисленных мощностей, из которых не более 10 могут быть одновременно различными.

Насколько разными могут быть бесконечности?

Если CH имеет место, однако, ℵ ₁ (наименьшее число на диаграмме) равно 2 ^{ℵ ₀} (наибольшее число на диаграмме), и, таким образом, все записи равны. Если, с другой стороны, мы предположим, что CH ложно, тогда они могут быть совсем другими.

В течение нескольких десятилетий математики пытались показать, что ни одно из соотношений «меньше или меньше» в диаграмме Цихона не может быть усилено до равенств. Для этого они построили множество различных вселенных, в которых разными способами назначили двух самых маленьких несчетных кардиналов ℵ ₁ и ℵ ₂ .Например, они создали юниверс, для которого ℵ ₁ = add (𝒩) = cov (𝒩) и ℵ ₂ = non (ℳ) = cof (ℳ).

Эта работа позволила исследователям в 1980-х годах подтвердить, что для всех пар кардиналов только отношения, указанные на диаграмме, могут быть доказаны в ZFC. Точнее, для каждой маркировки (независимых) записей диаграммы Цихона со значениями ℵ ₁ и ℵ ₂ , которая учитывает неравенства диаграммы, существует универсум, который реализует данную маркировку.

Итак, мы уже почти четыре десятилетия знаем, что все присвоения диаграмме ℵ ₁ и ℵ ₂ возможны. Но что мы можем сказать о более чем двух значениях? Могут ли, например, все независимые записи одновременно отличаться? Некоторые случаи с тремя характеристиками известны уже 50 лет, а в 2010-х годах было обнаружено (или построено) больше вселенных, в которых на диаграмме Цихона появилось до семи различных кардиналов.

В статье 2019 года мы вместе с израильским математиком Сахароном Шелахом из Еврейского университета в Иерусалиме построили вселенную, в которой на диаграмме Цихона появляется максимально возможное количество различных бесконечных значений, то есть 10.Однако при этом мы использовали более сильную систему аксиом, чем ZFC, которая предполагает существование «больших кардиналов», бесконечностей, существование которых невозможно доказать только в ZFC.

Хотя мы были очень довольны этим результатом, мы не были полностью удовлетворены. Мы работали еще два года, чтобы найти решение, используя только аксиомы ZFC. Вместе с Шелахом и колумбийским математиком Диего Мехиа из Университета Сидзуока в Японии нам наконец удалось доказать результат без этих дополнительных предположений.

Таким образом, мы показали, что все 10 характеристик действительных чисел могут быть разными. Отметим, что мы не показали, что может быть по крайней мере, максимум или точно 10 бесконечных кардиналов между ℵ ₁ и континуумом. Это было уже доказано Робертом Соловеем в 1963 году. На самом деле размер набора действительных чисел может сильно варьироваться: может быть восемь, 27 или бесконечно много кардинальных чисел от ℵ ₁ до 2 ^{ℵ ₀} — даже бесчисленное множество.Наш результат скорее доказывает, что существуют математические вселенные, в которых 10 конкретных количественных чисел от ℵ ₁ до 2 ^{ℵ ₀} оказываются разными.

Это еще не конец истории. Как это обычно бывает в математике, многие вопросы остаются открытыми, но возникают новые. Например, в дополнение к количественным числам, описанным здесь, с 1940-х годов было обнаружено множество других бесконечных мощностей, лежащих между ℵ ₁ и континуумом.Их точные отношения друг к другу неизвестны. Выделить некоторые из этих характеристик в дополнение к характеристикам на диаграмме Цихона — одна из предстоящих задач. Другой — показать, что возможны другие упорядочения 10 различных значений. В отличие от случая для двух значений ₁ и ℵ ₂ , где мы знаем, что все возможные порядки согласованы, в случае всех 10 значений мы могли показать согласованность только двух разных порядков. Так что, кто знает, на диаграмме могут еще оставаться неоткрытые до сих пор равенства, включающие более двух характеристик.

Эта статья впервые появилась в Spektrum der Wissenschaft и воспроизводится с разрешения.

Гений-самоучка-математик написал эту загадку, отбывая срок в тюрьме. Сможете ли вы это решить?

В прошлом году Кристофер Хэвенс, заключенный, отбывающий срок до 25 лет за убийство, попал в заголовки газет как ведущий автор научной статьи, опубликованной в журнале Research in Number Theory . Хэвенс бросил школу, но вскоре после начала предложения 2011 года обнаружил свое увлечение математикой и начал изучать теорию чисел — изучение целых чисел и их закономерностей.

Ранним и продолжающимся источником вдохновения для исследования Хэвенса было Math Horizons , публикация по математике для студентов младших курсов и ее раздел «Проблемы». Там изобретательные математические задачи, написанные студентами и профессорами, предлагали Хэвенсу задачи.

Теперь Math Horizons печатает задачу, отправленную Havens:

Какое наименьшее положительное целое число y такое, что 1729y ² +1 представляет собой идеальный квадрат?

Хэвенс поставил эту задачу в честь дня рождения индийского математика Шриниваса Рамануджана, родившегося 22 декабря 1887 года.Рамануджан был известен своей работой в нескольких областях математики, включая теорию чисел, и своим быстрым, интуитивно понятным способом работы с числами и функциями. Выбор Хэвенсом числа 1729 в ​​его задаче является отсылкой к известной истории о Рамануджане. Рамануджан прибыл в Англию в 1914 году, чтобы работать с Г. Харди, теоретик чисел из Кембриджского университета. Там он тяжело заболел. (К сожалению, он умер вскоре после возвращения в Индию. Ему было всего 32 года.)

Однажды Харди взял такси номер 1729 в ​​больницу, чтобы навестить Рамануджана, и заметил, когда приехал туда, что номер 1729 кажется особенно скучным.По словам Харди, Рамануджан ответил: «Нет, это очень интересное число; это наименьшее число, которое можно выразить как сумму двух кубиков двумя разными способами ». Рамануджан почти сразу заметил, что число 1729 можно записать как 1 ³ +12 ³ и 9 ³ +10 ³ .

➡ Присоединяйтесь к Pop Mech Pro и получите эксклюзивные ответы на свои животрепещущие вопросы по математике.

Проблема Хэвенса является примером уравнения Пелла, которое представляет собой уравнение в форме x ² −Ny ² = 1, где N — целое число, не являющееся квадратом.Хэвенс спрашивает, когда 1729y ² + 1 = x ² имеет целочисленное решение как для x, так и для y, поэтому вы начинаете с преобразования уравнения так, чтобы 1 была сама по себе. И в вопросе Хавенса, и в уравнении Пелла нам нужны не какие-либо старые решения, а пары чисел x и y, удовлетворяющие уравнению, в котором и x, и y являются целыми числами.

Один из методов решения уравнения Пелла был найден другим важным индийским математиком, Бхаскарой II, жившим в XII веке, примерно за 500 лет до английского математика Джона Пелла, имя которого связано с уравнениями.(На самом деле, Пелл даже не из тех правых европейцев , которые ошибочно приписали эти уравнения Пеллу, но Леонард Эйлер приписал Пеллу другое современное решение этих уравнений, но имя прижилось.)

Алгоритм Бхаскары II для решения уравнения вида x ² −Ny ² = 1 называется методом чакравалы. Это итеративный процесс. По сути, идея состоит в том, чтобы начать с предположения решения и использовать его, чтобы постепенно приблизиться к правильному ответу.

Любимые материалы: лучшие книги по математике

Бесконечные силы: как исчисление раскрывает секреты Вселенной

Zero: Биография опасной идеи

Искусство статистики: как учиться на данных

Радость х: экскурсия по математике от единицы до бесконечности

Другой алгоритм решения уравнения Пелла включает в себя нахождение представления непрерывной дроби квадратного корня из коэффициента (N) в уравнении — в данном случае 1729.Непрерывные дроби — это приближения; по мере увеличения высоты башни числителей и знаменателей приближение непрерывной дроби приближается к приближаемому иррациональному числу. Идея подхода непрерывной дроби к решению уравнения Пелла заключается в том, что, когда x и y большие, разница в 1 относительно мала. Другими словами, числа, удовлетворяющие x ² −Ny ² = 1, близки к числам, удовлетворяющим x ² = Ny ² или (x / y) ² = N.Следовательно, поиск рационального числа x / y, квадрат которого близок к 1729, поможет вам найти числа x и y, удовлетворяющие x ² −1729y ² = 1.

Чтобы перейти от непрерывной дроби для √1729 к решению уравнения Пелла, идея состоит в том, чтобы взять приближение, которое вы получаете на каждом шаге (эти рациональные приближения называются подходящими дробями), записанное как дробь x / y, и посмотреть, он удовлетворяет уравнению x ² −1729y ² = 1. Этот алгоритм работает, но не ожидайте, что он будет работать быстро.Возьмите напиток, расслабьтесь и продолжайте эти дроби!

Когда вы будете готовы проверить свой ответ, вставьте 1729 в ​​этот калькулятор уравнений Пелла.

Этот контент создается и поддерживается третьей стороной и импортируется на эту страницу, чтобы помочь пользователям указать свои адреса электронной почты. Вы можете найти больше информации об этом и подобном контенте на сайте piano.io.

Гендерный разрыв в математике не универсален

«Марьям Мирзахани — первая женщина, получившая медаль Филдса, известную как Нобелевская премия по математике, в знак признания ее вклада в понимание симметрии криволинейных поверхностей», — говорит Бьорн Кэри, автор журнала Stanford. Отчет .

Мирзахани родился, вырос и получил образование в Иране. Я мог бы быть шокирован этой подробностью, основанной на плохой прессе, которую Ближний Восток получает о правах женщин, если бы я только что не закончил анализировать результаты глобальных тестов студентов по математике за лето.

В рамках useR! В 2014 году Организация экономического сотрудничества и развития (ОЭСР) предоставила данные для аналитического конкурса Программы международной оценки учащихся (PISA) 2012 года по результатам тестов, которые проверяют навыки 15-летних школьников по всему миру.

Данные содержат оценки по математике, естественным наукам и чтению, а также множество другой информации об образовании и образовании учащихся. От 3000 до 33000 студентов прошли тестирование в каждой из более чем 60 стран, в результате чего были получены данные о 485 490 подростках.

Вместе с двумя нашими аспирантами из Университета штата Айова, Люком Фоствельдтом и Алексом Шумом, и коллегой из Schneider Electric в Сидар-Рапидс, Яном Литтлом, я проанализировал взаимосвязь между результатами тестов и полом.Заявки на участие в конкурсе можно посмотреть здесь.

То, что я узнал, сделав несколько снимков данных, меня удивило.

На рис. 1 показан гендерный разрыв в математике. Баллы по математике были усреднены отдельно для девочек и мальчиков для каждой страны. Была рассчитана разница между мальчиками и девочками, и был проведен простой t-тест, чтобы определить значимость разницы. Точечная диаграмма показывает различные средние значения в порядке страны, от наибольшего гендерного разрыва к наименьшему.

Рисунок 1. Математический гендерный разрыв по странам и карта стран. Цвет указывает направление разрыва и значение. Размер точки указывает долю мужчин в выборке страны. Гендерный разрыв присутствует не во всех странах.

Что меня удивило, так это то, что есть пять стран, в которых гендерный разрыв полностью устранен. Еще более шокирующим было увидеть названия стран: Иордания, Катар, Таиланд, Малайзия и Объединенные Арабские Эмираты. Также во многих странах нет значительной разницы в средних результатах тестов по математике.В целом, самые большие различия составляют около 30 баллов, что довольно мало по сравнению с общей шкалой. Баллы указываются по шкале от 0 до 1000, в среднем около 450 баллов.

Такой же анализ был проведен для оценок чтения, с столь же неожиданными результатами.

На рисунке 2 показана точечная диаграмма разницы между средними значениями для каждой страны. Разница составляет от 12 до 80 баллов в пользу девочек. Девочки в среднем набирают больше очков, чем мальчики, во всех странах.

Рисунок 2.Чтение гендерного разрыва по странам. Цвет указывает направление разрыва и значение. Размер точки указывает долю мужчин в выборке страны. Во всех странах наблюдается значительный разрыв в оценках в пользу девочек.

Усредненный рисунок рисунка широкой кистью. Большой посыл в этих данных заключается в том, что самый большой источник вариаций — от человека к человеку.

На диаграмме 3 показаны наивысшие и самые низкие баллы по каждой стране для девочек и мальчиков. Хотя в Объединенных Арабских Эмиратах в среднем девочки успевают по математике лучше, чем мальчики, наивысший балл получает мальчик, и он примерно на 200 баллов выше, чем лучший результат девочки.В США все перевернулось: наивысший балл достается девушке, и он почти на 80 баллов выше, чем балл лучшего мальчика. Примерно в десятке стран наивысший балл достается девушке.

Рис. 3. Самый высокий (слева) и самый низкий (справа) баллы по математике в зависимости от пола показывают несколько разные истории. Синий цвет указывает на мальчиков, а розовый — на девочек. Страны отсортированы сверху вниз по баллам мальчиков (слева) и девочек (справа). В некоторых странах, в том числе в США, самый высокий балл достается девушке.С другой стороны, в большинстве стран самый низкий балл соответствует мужчине.

С другой стороны, если мы посмотрим на самые низкие оценки по каждой стране, мы увидим, что многие из них можно отнести к мальчикам. По наивысшим показателям Соединенные Штаты находятся чуть ниже половины графика, что указывает на то, что лучшие математические способности в стране работают хуже, чем в половине стран, участвовавших в исследовании. Однако с точки зрения низких оценок Соединенные Штаты входят в первую десятку, что говорит о том, что у них нет «виляющего хвоста».

Мы так много слышим в новостях о разрыве в пользу мальчиков в Соединенных Штатах, а также о моей родной стране, Австралии. Это явно вызывает серьезное беспокойство, и это явно реально в этих странах и во многих других. Однако данные PISA позволяют предположить, что это не является непреодолимым. Есть много стран, где нет математического разрыва, и несколько стран, где он обратный.

Вызывает тревогу разрыв в чтении, когда в целом мальчики в среднем успевают хуже, чем девочки.Мы ничего об этом не слышим, но для сегодняшних мальчиков это должно быть проблемой. Чтение — важнейший компонент общения.

Об авторе

Дайан Кук — профессор статистики в Университете штата Айова и научный сотрудник ASA. Ее основной исследовательский интерес — визуализация данных с помощью интерактивной графики. Она получила докторскую степень в Университете Рутгерса в 1993 году, работая в тесном сотрудничестве с исследователями из Bellcore, над изучением методов большого тура и проекционного преследования, реализованных в программном обеспечении XGobi.